Chestiuni elementare
despre siruri

Prezenta lucrare îsi propune prezentarea unor aspecte elementare privind sirurile de numere reale.
În mod obisnuit, prin sir se întelege o infinitate de numere, distincte sau, nu, scrise unul dupa altul. Exemplu, sirul numerelor naturale:
1, 2, 3, 4, … .

Definitie. Numim sir orice functie f : N(R, f(n) = an.
Notam (an)n(0.

Exemple de siruri:
1) 1, 1, 1, 1, …, 1, …
2) 1, (1, 2, (2, …, n, (n, …
3) 10, 102, 103, 104, …, 10n, …
4) 1, , , , …, , …
5) 1, (
, , (
, …, , …

Definitie. Sirul (an)n(0 este marginit daca exista M > 0 astfel încât (an(( M, pentru orice n(N.

Exemplu: sirul “10, 102, 103, 104, …, 10n, …” este marginit, deoarece termenii sai sunt mai mari ca 0 si mai mici ca 1.

Definitie. Sirul (an)n(0 este monoton crescator daca an ( an+1. Sirul (an)n(0 este monoton descrescator daca an ( an+1.

Exemple: sirul “1, , , , …, , …” este crescator; sirul “1, , , , …, , …” este descrescator.

Notiunea de convergenta
Daca observam ca termenii sirului (an)n(0 se apropie din ce în ce mai mult de numarul a (se “îngramadesc”), pe masura ce n creste, vom avea o viziune intuitiva asupra convergentei sirului. Vom spune ca an(a (an tinde, converge catre a), a fiind limita sirului. Vom nota .

Mai exact:
Definitie. Sirul (an)n(0 este convergent catre a sau are limita a daca orice vecinatate a lui a (interval deschis care-l contine pe a) contine toti termenii sirului, exceptând (eventual) un numar finit de termeni.
Sau:
Definitie. Sirul (an)n(0 este convergent catre a (are limita a) daca (( ( (, (n( ( ( (un rang depinzând de (), astfel încât (n ( n(, sa avem (an(a( ( (.

Observatie. Limita unui sir, daca exista, este unica.

Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent.

Exemplu. Sirul an = se constata usor ca este descrescator: 1 ( ( ( … ( ( … si marginit inferior de 1; deci = 1.
Un sir important: an = ; limita sa se noteaza cu e ( 2,71828…

Proprietati ale sirurilor convergente:
limi